4 klasa. Temat 25. Obliczanie wartości elementów ciągu Fibonacciego. Algorytm rekurencyjny. Algorytm iteracyjny

Krok 1. Wpływ królików na odkrycia matematyczne

W roku 1202 wybitny włoski matematyk okresu średniowiecza, Leonardo Pisano, zwany Fibonaccim, przedstawił problem, który do tej pory dostarcza natchnienia rzeszom matematyków. Dotyczy on liczebności populacji królików.

Opis problemu:

Ile par królików będziemy mieli na końcu roku, jeśli zaczniemy w styczniu z jedną parą królików, ta w każdym następnym miesiącu, poczynając od marca, wyda na świat kolejną parę królików i z każdej pary urodzą się kolejne pary po dwóch miesiącach od narodzin?

Zadanie jest dość nierealistyczne, bo zakładamy, że rodzą się tylko autentyczne pary, czyli samiec i samica, oraz, że wszystkie urodzone króliki żyją.

Jako przedsiębiorca i finansista, zamieścił swoje obliczenia w tabeli. Okazało się, że łączna liczba królików w poszczególnych miesiącach tworzyła zadziwiający ciąg liczb.

Kolejne liczby były sumą dwóch poprzednich! Zobacz poniższą tabelę z danymi.

Liczby królików, w poszczególnych miesiącach układają się w charakterystyczny ciąg, na cześć Fibonacciego zwany ciągem Fibonacciego.

Łatwo teraz policzyć, ile powinno być królików po dwunastu miesiącach.

Liczby 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...można tworzyć w nieskończoność. Taki ciąg nazywamy ciągiem rekurencyjnym, gdzie każdy kolejny wyraz zależny jest od poprzednich.

Wzór ciągu Fibonacciego:

Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb, w którym pierwszy wyraz jest równy 0, drugi jest równy 1 a każdy następny jest sumą dwóch poprzednich.

Krok 2. Gdzie w przyrodzie można odnaleźć liczby Fibonacciego?

Ciąg Fibonacciego jest nie tylko teoretycznym założeniem matematycznym – urzeczywistnia się również niezwykle często w przyrodzie.

Krok 3. Tajemniczy ciąg Fibonacciego i złota liczba

Ciąg Fibonacciego ma związek także ze złotym podziałem, czyli takim, o którym mówi się, że ma idealne proporcje, a co za tym idzie — duże walory estetyczne.

Złoty podział, nazywany również złotą proporcją, wyznacza odcinek, w którym większa część pozostaje w takiej samej relacji do mniejszej, jak całość do większej.

Z ciągiem Fibonacciego wiąże się również niezwykła zależność:

dzieląc dowolną liczbę ciągu przez liczbę ją poprzedzającą otrzymamy wynik oscylujący wokół 1,61804 – liczby zapisywanej w greckim alfabecie jako φ – (fi).

Złoty prostokąt powstanie zawsze, gdy będziemy rysować kwadraty o bokach długości wyrazów Ciągu Fibonacciego, łącząc je ze sobą dłuższymi bokami. Niezależnie od tego, ile kwadratów w ten sposób dorysujemy, za każdym razem będą tworzyć one idealny prostokąt o proporcjach złotego podziału.

Jeśli połączymy linią wypełniające tę figurę mniejsze kwadraty o bokach równych liczbom Ciągu Fibonacciego, okaże się, że wpisaliśmy w nie spirale o złotych proporcjach, czyli tzw. złotą spiralę.

Graficzna interpretacja kolejnych wyrazów

ciągu Fibonacciego:

Platon uważał, że liczba ta może być kluczem do Wszechświata, a w starożytnych pismach często uważana jest ona nie tylko za Złotą lecz również Boską Liczbą, pozwalającą na uporządkowanie chaotycznego wszechświata.

Ta banalna z pozoru zależność w rzeczywistości opisuje cały szereg zjawisk występujących w przyrodzie, począwszy od roślin aż po kształt galaktyk.

Huragany przybierają kształt złotej spirali

W kształtach wielu roślin widać spiralne linie rozchodzące się od środka w niezwykle usystematyzowany sposób. Rośliny rozwijając się wypuszczają kolejne pędy z jednego centralnego punktu (np. łodygi) rozchodząc się pod kątem.

Jest to tak zwany Złoty Kąt, który wyznacza kierunek rozwoju roślin. Jak się okazuje on również zawiera w sobie ciąg Fibonacciego – jest to złota proporcja dla podziału okręgu.

Ucho człowieka odzwierciedla zasadę złotej spirali

Złota proporcja znalazła również swoje zastosowane w świecie sztuki. Dzieła stworzone w oparciu właśnie o tę zasadę wydają się nam w odbiorze niezwykle atrakcyjne.

Ta „boska matematyka” czy też „święta geometria” w ludzkim ciele fascynowała wielu artystów. Jej badaczem był choćby Leonardo da Vinci.

"Człowiek witruwiański" Leonarda da Vinci:

Malarze korzystali z idei dla uzyskania estetycznych walorów dzieł i ich idealnych proporcji.

Mona Lisa, Leonardo da Vinci, 1503–1506.

Święta Anna Samotrzecia, Dziewica z Dzieciątkiem i Św. Anną, Leonardo da Vinci, 1506-1513.

Jan Vermeer, Dziewczyna z perłą

Michał Anioł, Stworzenie Adama

Vincent van Gogh, Gwiaździsta noc

Nawet w logo Pepsi okręgi, z których zbudowany jest znak, zachowują zasadę złotej proporcji. Logo i rebranding Pepsi wykonane w 2008 roku przez Arnell Group kosztowały okrągły milion dolarów.